難解的數學謎題!「黃鐘不能還原」(圖)


音樂、曆法與度量衡在古人眼中是和諧相通的,而不是毫不相干的學科
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數百年前,明朝皇族中出生了一位音樂奇才,他解決了東、西兩方在音律上的一道巨大的謎題,而這套解題理論至今仍被廣泛應用在世界各地的鍵盤樂器上,因此他被譽為鋼琴理論的鼻祖

音律是古代制度的基石

「凡神人以數合之,以聲昭之,數合聲和,然後可同也。」(《國語》)古人很早就察覺到「律」與「數」合和的關係。以今日的科學觀念來看,音樂、曆法與度量衡三者是毫不相干的學科,但是在古人眼中它們卻是和諧相通的,而音律更是後二者的根本。

傳說黃帝命伶倫作律,伶倫依據鳳凰的鳴叫聲製作出十二根笛子,完成了十二律呂。關於十二律呂的名稱,《國語》寫道「六律」為黃鐘、太簇、姑洗、蕤賓、夷則、無射;「六呂」為大呂、夾鍾、仲呂、林鐘、南呂、應鐘。陽曰律,陰曰呂,律呂與陰陽二氣是相通的。

《禮記》中描述了一年十二個月與十二律呂相對應的關係:孟春之月,律中太簇;仲春之月,律中夾鐘……季冬之月,律中大呂。鄭玄註解:將每個律管中以葭灰填實,當某個月份到臨時,與之相應的律管中的葭灰就會飛動起來,叫做「吹灰」,因此藉由律呂可以探測時令節氣的變化。

十二月循環往復,十二律也循環交替,從周代至秦朝都以冬至(十一月)為歲首,作為節氣循環的起點。十一月對應黃鐘,屬宮音,律之始也,每當一個輪迴結束後必須返回到原點,然後再開始一輪新的循環,在律學上稱為「返宮」。但是古人卻遺憾地發現,每一次的循環都無法完美地回到宮音上,造成「黃鐘不能還原」的問題。

巨大的難解之謎

「五行四時十二月,還相為本也。五聲六律十二管,還相為宮也。」(《禮記》)無法精準地返回到宮音是東、西方在音律學上共同遇到的難題。中國古人以天人合一的觀念在探索音律,如果音律無法與上天和諧同一,久而久之就會禮崩樂壞,社稷將無法長治久安,為此歷朝歷代的儒者莫不汲汲實現音律返宮的理想。

返宮的問題與生律的方法有關。《管子》首見談論五聲(宮商角徵羽)的定律方法,稱為「三分損益法」。先以黃鐘律管為本,輪流乘上2/3(三分損一)及4/3(三分益一)得到另外四聲(管),而確立五聲。《呂氏春秋》中八度音程內的十二律也是用同樣的方法取得的。(十二律對應西方的唱名為:do、#do、re、#re、mi、#mi、#fa、so、#so、la、#la、si)

古人以律管長度的比例來計算音程,當兩根律管的長度比為2:1時,正好是一個八度音程,例如《管子》載「主一而三之(1×3),四開以合九九(34=81)」,黃鐘之宮為81,屬中音do,長度減為一半得40.5,即高音do,稱為清黃鐘;但是以三分損益法算出的清黃鐘的數值卻是39.9549,與40.5有小的差異,造成十二律在返宮上的缺憾。

這個缺憾在音樂演奏上有甚麼影響?當音律沒有辦法回歸到原點,再重新出發後就會產生音差,音差看似很小,但若是在一個很寬廣的音域內,經過幾次轉調後,跑音就會很明顯了。

神乎其技的數學精算

漢代的京房、南北朝的錢樂之和何承天、隋唐五代的劉焯和王樸、宋代的蔡元定等人,在解決返宮的問題上都勞而無功,直到明萬曆年間,朱元璋的九世孫朱載堉提出了「新法密率」(十二等程律),才徹底地解決了黃鐘不能還原及實現旋宮轉調、週而復始的理想。

朱載堉完成了令人嘆為觀止的數學計算,他將一個八度音程分成等比的十二份,讓任何兩個相鄰的律之間的音程相等。在那個沒有計算機的時代,他自創了九九八十一檔、長達幾米的雙排大算盤,計算出12√2得1.059463094359295264561825(每兩個相鄰單音間的比例),精準到小數點後24位,找到能夠返宮的奧義。他所創建的音律體系,至今為止仍主宰著世界各地鍵盤樂器的靈魂。

朱載堉本身是位文理精通的奇才,融會天文、曆法、數學、舞蹈及樂理等領域。他在研幾探賾的路上,啟悟到大道至簡至易的道理,他寫道:「以淺近之辭,發揮高深之理,以幽微之數,研究迂闊之學,得其精而忘其粗。」而後,朱載堉的律學研究很可能被西方傳教士利瑪竇傳到了歐洲,成為西方音樂體系重要的定律基準之一。

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作者阿東哥編輯整理相關文章


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