难解的数学谜题！“黄钟不能还原”(图)

音乐、历法与度量衡在古人眼中是和谐相通的，而不是毫不相干的学科
（图片来源：Fotolia）

数百年前，明朝皇族中出生了一位音乐奇才，他解决了东、西两方在音律上的一道巨大的谜题，而这套解题理论至今仍被广泛应用在世界各地的键盘乐器上，因此他被誉为钢琴理论的鼻祖。

音律是古代制度的基石

“凡神人以数合之，以声昭之，数合声和，然后可同也。”(《国语》)古人很早就察觉到“律”与“数”合和的关系。以今日的科学观念来看，音乐、历法与度量衡三者是毫不相干的学科，但是在古人眼中它们却是和谐相通的，而音律更是后二者的根本。

传说黄帝命伶伦作律，伶伦依据凤凰的鸣叫声制作出十二根笛子，完成了十二律吕。关于十二律吕的名称，《国语》写道“六律”为黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射；“六吕”为大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟。阳曰律，阴曰吕，律吕与阴阳二气是相通的。

《礼记》中描述了一年十二个月与十二律吕相对应的关系：孟春之月，律中太簇；仲春之月，律中夹钟……季冬之月，律中大吕。郑玄注解：将每个律管中以葭灰填实，当某个月份到临时，与之相应的律管中的葭灰就会飞动起来，叫做“吹灰”，因此借由律吕可以探测时令节气的变化。

十二月循环往复，十二律也循环交替，从周代至秦朝都以冬至（十一月）为岁首，作为节气循环的起点。十一月对应黄钟，属宫音，律之始也，每当一个轮回结束后必须返回到原点，然后再开始一轮新的循环，在律学上称为“返宫”。但是古人却遗憾地发现，每一次的循环都无法完美地回到宫音上，造成“黄钟不能还原”的问题。

巨大的难解之谜

“五行四时十二月，还相为本也。五声六律十二管，还相为宫也。”（《礼记》）无法精准地返回到宫音是东、西方在音律学上共同遇到的难题。中国古人以天人合一的观念在探索音律，如果音律无法与上天和谐同一，久而久之就会礼崩乐坏，社稷将无法长治久安，为此历朝历代的儒者莫不汲汲实现音律返宫的理想。

返宫的问题与生律的方法有关。《管子》首见谈论五声（宫商角征羽）的定律方法，称为“三分损益法”。先以黄钟律管为本，轮流乘上2/3（三分损一）及4/3（三分益一）得到另外四声（管），而确立五声。《吕氏春秋》中八度音程内的十二律也是用同样的方法取得的。(十二律对应西方的唱名为：do、#do、re、#re、mi、#mi、#fa、so、#so、la、#la、si）

古人以律管长度的比例来计算音程，当两根律管的长度比为2：1时，正好是一个八度音程，例如《管子》载“主一而三之（1×3），四开以合九九（3⁴=81）”，黄钟之宫为81，属中音do，长度减为一半得40.5，即高音do，称为清黄钟；但是以三分损益法算出的清黄钟的数值却是39.9549，与40.5有小的差异，造成十二律在返宫上的缺憾。

这个缺憾在音乐演奏上有什么影响？当音律没有办法回归到原点，再重新出发后就会产生音差，音差看似很小，但若是在一个很宽广的音域内，经过几次转调后，跑音就会很明显了。

神乎其技的数学精算

汉代的京房、南北朝的钱乐之和何承天、隋唐五代的刘焯和王朴、宋代的蔡元定等人，在解决返宫的问题上都劳而无功，直到明万历年间，朱元璋的九世孙朱载堉提出了“新法密率”（十二等程律），才彻底地解决了黄钟不能还原及实现旋宫转调、周而复始的理想。

朱载堉完成了令人叹为观止的数学计算，他将一个八度音程分成等比的十二份，让任何两个相邻的律之间的音程相等。在那个没有计算机的时代，他自创了九九八十一档、长达几米的双排大算盘，计算出¹²√2得1.059463094359295264561825（每两个相邻单音间的比例），精准到小数点后24位，找到能够返宫的奥义。他所创建的音律体系，至今为止仍主宰着世界各地键盘乐器的灵魂。

朱载堉本身是位文理精通的奇才，融会天文、历法、数学、舞蹈及乐理等领域。他在研几探赜的路上，启悟到大道至简至易的道理，他写道：“以浅近之辞，发挥高深之理，以幽微之数，研究迂阔之学，得其精而忘其粗。”而后，朱载堉的律学研究很可能被西方传教士利玛窦传到了欧洲，成为西方音乐体系重要的定律基准之一。