一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （一）

（一）

关于发现新的数学的可能。

我们现在对于数学的理解，来自于现代科学的框框，也只是通过现代的数学来看待数学这一门学问。这种框框必然把数学当作现代自然科学的一部分来看待，也必然局限在现代自然科学研究范围的框框中来谈论、研究数学，同时，也使数学没有逃脱现代自然科学对于自然、宇宙、生命、人类和社会历史的局限看法，最终导致数学的研究走入了现代人研究科学的框框中——也就是认识了一种事物以后才去研究他。

现代人一般是把计数和度量当作数学的全部范畴。所以，数学史家们在研究数学史的时候，一般从人类怎样发明记数的符号和文字开始研究，然后就是关于记数的方法和各种测量的工具等等的考古发现，最后就是关于古代一些关于现代数学的定理、公式、方程式等等的发现。

比如，我看了一个关于数学大事年表的排列，截取一段给大家瞧一瞧，见表【注1】：


时间 国家 内容

前4000 中国 西安半坡遗址出土陶器上有许多刻符，据考证有些是数字刻符。

前3000 前1700 巴比伦 巴比伦的数学记载：建立60進位计数法与记数符号，使用简单的乘法表、平方表、立方表和倒数表；出现简单的二次方程，利用相似原理计算三角形与梯形的边长等。

前3000 埃及 象形数字，采用10進位记数。

前2698 前2357 中国 尸佼《尸子》称：“古者倕为规、矩、准、绳，使天下放焉“。相传倕为黄帝时代人，规、矩、准、绳虽为四种几何工具，但可说明，当时已有方、圆、平、直等概念。

前2400 前1600 巴比伦 早期巴比伦泥板楔形文字，掌握某种开平方的方法，已知勾股定理并给出若干组勾股数。

前2200 中国 据《易经》所载，有《洛书》、《河图》等数学文献。

前2000 中国 山东省城子崖遗址出土陶器上有数字刻符。

前1900 埃及 埃及的数学载：解形如ax^2=b的方程；出现表示加法、减法和平方根的符号；求三角形、梯形的面积和棱柱体的体积；用A=〔〔8d〕/q〕^2求圆面积〔d为直径〕，取pi=3.16；出现含有等差数列、等比数列，比例分配等内容的问题。

前1850 前1650 埃及 纸草书〔莫斯科纸草书与莱茵德纸草书〕，使用10進非位值制记数法。

前1400 前1100 中国 周公〔公元前11世纪〕、商高时代已知勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。

前1400 中国 殷商时代甲骨文卜辞中，已有十進：数字的记录，其中最大的数字为三万。

前600 中国 陈子已知勾股定理的一般形式。

前600 希腊 泰勒斯将埃及的实用几何带入希腊，开始证明几何命题。

前585 前400 希腊 毕达哥拉斯学派对数与图形進行广泛的探究。

前550 前340 中国 筹算的产生。

前550 前340 中国 《墨经》给出若干几何概念和命题，因而一般认为它记载了中国最古老的几何知识。

前550 前340 希腊 毕达哥拉斯学派发现勾股定理及不可公度比；诡办学派的尺规作图的三大问题：齐诺的悖论；安提丰提出穷竭法；泰奥多勒斯的无理数；攸多克萨斯创比例论；亚里士多德创逻辑学；门内马斯的圆锥曲线研究。


对于中国古代数学，中国数学史家一般以《周髀算经》为始点，认为他是中国现存最早的一部数学典籍，专家考证成书时间在周汉期间，跨度大。严格说来，《周髀算经》是一部天文著作，因为要讨论天文历法，而叙述了一些有关的数学知识；其中重要的题材有勾股定理、比例测量与计算天体方位所不能避免的分数四则运算。当然，也有以《九章算术》为始点。另外，也有把20世纪80年代发现的《算术书》作为开始。

再如，现代数学发现了极限理论以后，回过头来看中国的公元前300年的庄子的一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”（《庄子·天下篇》，有学者认为是无限分割理论，极限的概念不够恰当），就认为早在庄子时代就有了极限观念了。这就是所谓的典型的发现。也即现代科学的发现出来以后，才承认古人早有认识；而不是因为古人早有认识，却因为不相信他，及到现代科学发现了才赶紧承认他，吹嘘他。相同的情况也是：对于《周易》的数学文化内涵，基本也停留在近代人发现的二進制的思想基础上作阐述。现在的研究者也已经开始发现，单以二進制的角度来阐释《周易》的数学思想是不充分的、不完整的，甚至有曲解的意义在里面，因为从二進制的角度来看《周易》就变成了是由于二進制的发明才能去理解《周易》了，也就是用二進制思想代替了《周易》的思想了。

这些都是用现代数学或现代科学的理论与观念来看待数学的历史发展的；而没有发现或认识到的东西一概视而不见。由于现代科学的发展，现在，对于数学的定义已经和以往有所不同了。现在对数学的定义是：

数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。【注2】

就例如那个著名的勾股法，这是人的肉眼所看到的固定空间的几何形式，在这种情况下才能進行计算。而一旦超出一点点肉眼所看到的固定空间，包括观念中的设想的空间，勾股法就不适用了。那么，如果一个人不相信有超出人的肉眼所看到的空间的存在的时候，就会不可能发现超出肉眼看到的空间数学模式了。不过，这里不是贬低勾股法；这种勾股法对于人类的生存空间还是有具体的实际的功用的。

可以看出来，数学的思想内涵也在不断的向各种方向延伸；特别在物理学上，各种事物的物理结构的发现往往也能开辟出新的数学模式的诞生。这种延伸在数学领域中，将发生许多变革，包括对于数学自身的思想的重新反省。

然而，中国古代的学人并不是这样看待数与数学的。

首先，“数”是宇宙万物的直接体现。当然，严格来说，“数”就在宇宙万物本身之中；反过来也可以这么说，因为宇宙万物的运动是有规律的、有定数的，所以更加能够用“数”来体现万物。

其次，在这里，需要解释“数”与“数字”的区别是：“数” 一般是通过“数字”来表现的，但也可以用别的方式来表现，所以“数”并不完全等同于“数字”。举个例子：象《周易》中的八卦，你可以随意掂出一卦，如乾卦、巽卦，这是可以通过卦象知道他们相应代表的数字的；但是卦象的内涵却不等同于数字的内涵。那么，也就是说，“数”的内涵是“数字”不能完全表现出来的，或者说“数字”只能小部分的、局部的表现了“数”的内涵。所以，二者是不能等同起来的。古人也是不把“数”完全等同于“数字”一意，只要是能表现出一定规律的内涵都称为“数”。

第三，实际上，“数”还有“规律、命运”的含义，只不过现代语言学家把此义当作引申义来对待。然而，在此处，这个所谓的“引申义”却是理解“数”的关键所在。所以，当我们把“数”的计算、规律、命运等内涵一起应用，就能知道古代人怎样对于“数”的全面的、整体的、正确的把握。《汉书•律历志》曰：“数者，一十百千万也，所以算数事物，顺性命之理。《书》曰：‘先其算命。’……探赜索隐、钩深致远，莫不用焉。”可见，算数与“性命之理”、与“算命”是有密切关联的。而“性命文化”与数学之间的关系，对于被现代思想思维着的人或研究者来说，这是一个充满迷雾的领域，是有待开拓与发掘的。

南宋秦九韶在《〈数书九章〉序》中说，数学“大则通神明，顺性命；小则可以经世物，类万物”，“今数术之书，尚余三十家。天象历度，谓之‘缀术’；太乙壬甲，谓之‘三式’，皆曰内算，言其秘也。《九章》所载，即周官‘九数’；系于方圆者，为‘叀（读： zhuān ?）术’，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可歧二。”【注7】

那么，这里的“内算”的内涵接近“术数”，主要指天文历数，太乙、六壬、奇门遁甲三式等等；而“外算”的内涵接近现在意义的“数学”。而《四库全书总目提要》指出术数的类别中，专门提到一种“数学”，曰：“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是为数学。”这说明“术数”的内涵里也包括有以数字为模式的“数学”。至于说到“术数”，则是研究命理文化的运算技巧。在这里，“内算”、“外算”的说法是相对而言的；但是，这两个的用法是相通的，不可以分歧、分离他们。那么他们二者之间的紧密联系，在笔者看来，就跟“数字”及部分基本运算规则（如：加减乘除）的应用是一致的，也是不可分开的使用的。当然，可能还有其他相似的、相通的因素，这有待研究。

从这三点来看，数学这个学科知识体系是与文化紧密相关的，现代的许多数学家、哲学家已经意识到这个现象的真实性。那么，我们可以看到或者能够预见到，数学的内涵将会因为不同文化的内涵的扩展而被发掘出来，同时，不同的文化内涵本身另产生有其相应的数学内涵的展现。就象“性命文化”内涵在中国古代时段是很发达的、也被人们很广泛的应用和流传；所以，要了解、明了中国古代数学的真实情况，则需要透彻中国古代文化的实质。要想发现或者发明新的数学，首先必须有新的文化内涵在人间出现，才有这种可能性。