韩信与数学

韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。

韩信点兵

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

当时韩信是怎么算出来的，我们不知道。从历史上留下的典籍中，可以查出这种类型的算题最早出现在“孙子算经”中。它成书于公元3世纪左右，原作者已不可考。魏晋时期著名数学家刘徽曾为“孙子算经”作过注解。书中给出的算法是这样的：用以3作除数所得余数2乘以70，加上以5作除数所得余数3乘以21，再加上以7作除数所得余数2乘以15，得233。减去两个105后，得23。这个23就是满足上述各条件的最小整数。实际上（23+K*105），其中的K表示‘乘以’，当K等于任何正整数时，都可以满足所说的条件。因此要想得到准确数值还需要知道该数所在范围。韩信的1500将士在战斗后死伤四五百人，由此可知准确人数为1073。根据“孙子算经”的这个算法总结出有名的“中国剩余定理”，比内容相同的“高斯定理”早问世1500年。

宋朝有人把“孙子算经”给出的解法写成口诀：

三岁孩儿七十稀，

五留廿一事尤奇。

七度上元重相会，

寒食清明便可知。

注意诗中“上元”指的是正月十五元宵节，寒食到清明整整105天。明朝的程大位所给出的口诀更易懂些：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝。

七子团圆正月半，

除百零五便得知。

传说中韩信点兵的故事还有另一种说法：“韩信有兵一队，若列为五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，求兵数。”此题同样可用“中国剩余定理”得到答案。