先来弄清几个概念：
我们所说的数学是什么意思？"数学"本来是个外来词汇，中国人其实没有把数字作为科学来研究，"0"也不是中国人发明的。所以普通中国人的"数学"概念基本上停留在原始的"计数"也就是"算术"上。"算术"者，计算之"术"也。
英文中，与"数学"有关的至少有三个词汇：‘arithmetic'，‘mathematics'和‘numeracy'。‘arithmetic'来源于古希腊文，意为‘数字'，中文译为‘算术'较为恰当。随着现代计算工具的日益发展，西方的学校里已不用‘arithmetic'这个概念，取而代之的是‘mathematics'或‘numeracy'。
‘Numeracy'是一个比较新颖的概念，英国教育部将其定义为：一种对数字系统的理解，对广泛的数学技能的掌握，以及解决量化与空间问题的能力。它还包括各种数据的收集方法和运用图表呈现这些数据的能力。
数学研究的是数量、结构、变化以及空间模型等概念，学习‘数学'其实就是训练抽象化思维和逻辑推理。数学家们从选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，所以数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
由此可见，我们时常听到的"美国人不会找零钱"啦，"简单的加减乘除都要依赖计算器"啦，这些其实都是指算术，并不说明美国人的数字与空间概念或是抽象逻辑思维比别人差，否则很难想象航天飞机能傲游太空，电脑科技会称霸全球。
再者，数学追求的是清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，不允许有任何含糊，数学的三大基本特征就是：抽象性、严谨性和广泛应用性。正由于这些特征，中国文化的笼统、模糊性在一定程度上阻碍了中国人的数学思维。纵观人类历史，对数学的研究有四个高峰，均诞生于欧美各国：第一个是数学作为科学形态出现的古希腊演绎数学时期；第二个是推动工业革命的牛顿-莱布尼兹的微积分时期；第三个是以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个则是当今以电脑技术为标志的新数学时期，美国人独领风骚。
数学是一门科学，一个国家的科技水平不但要看其民众的普遍科学素养，还要看这个国家在该领域的尖端研究水平。美国的确有好多普通人连四则运算都搞不清，可是这个国家的科技水平是有目共睹的，在数学诺贝尔奖--菲尔兹奖的获奖者中，美国籍的获奖者人数是最多的。就中小学教育来看，美国的数学教学强调的是逻辑思维和抽象概念的形成，在这方面，人与人之间的差异太大了，所以天生缺乏数学细胞的人在尊重个性发展的美国大可不必花费那个脑力，这些人也许会在文学艺术或工匠手艺方面发挥特长，真正有数学头脑的美国人，钻进去了，也就不乏走进数学王国摘取那璀璨明珠的数学大师。美国教育重视个性的发展，尊重知识与真理，普林斯顿大学能把John Nash这样的数学"疯子"养起来，换了中国，他早就在精神病院里结束一生了。注意观察一下，国外大学中数学系，包括其他理科专业，中国来的优秀学生不少，可是真正顶尖的，往往还是白人居多。世界科技领域里，当然不乏优秀华人，可是华人往往是为他人服务的"计算员"，"程序员"，能正真独立解决问题，具有挑战精神有所创新的华人比例还远远不够。
中国人喜欢用考试成绩来判断好坏，如果仅以标准化测验为标尺，美国中学生的数学平均成绩的确不好。国际上具有权威的TIMSS和PISA最新测验结果显示，美国中学生的数学排名分别是第35名（15岁儿童PISA）、第11名（四年级TIMSS）和第9名（八年级TIMSS），而这三项测验的前五名分别是台湾、芬兰、香港、南韩、荷兰；香港、新加坡、台湾、日本、卡扎克斯坦；台湾、南韩、新加坡、香港、日本。经本人向国家教育部考试中心戴家干主任了解，中国大陆目前尚在试验阶段，不久也将参加这一系列的国际测试，可以想象，中国孩子的成绩一定不俗。如果中国孩子的数学考试成绩超过了美国，能不能说中国孩子的数学思维（逻辑、抽象、严密）就比美国孩子好呢？那么难道台湾、香港、南韩、日本等地区的人是世界上数学最好的吗？
显然不是。数学好不好，不能只看考试成绩，一个人数学好的真正含义是具有清晰准确的逻辑思维和严密的推理能力，考试中表现出来的复杂的计算技巧甚至高超的解题能力往往和真正的数学思维并没有太大关系，贸然下结论说某一国家的人数学好或是不好也是非常武断而且没有意义的。
比较有意义的观察是，看一个国家的数学教育手段（引伸到整个教育体系）是否先进，是否能培养出顶尖的数学人才并主导世界领先的科学研究？无疑，美国的数学教育和现代数学研究都走在世界前列，笼统的说美国人数学不好是缺乏根据的。正好比说中国人的外语水平世界第一，因为在全民学英语的背景下，不管是出租司机还是胡同口的老太太都会几句"三克油"之类的洋腔，而大多数美国人除了母语，很少去学外语的，可是中国的街头到处能看到令人啼笑皆非的英语翻译，而我们不管在外语教学的理论研究和实践上，或是现代应用语言学领域里，与世界先进水平还相差很远。
同样，也有人认为美国人的历史知识很差，可是美国人对历史的研究方法和探索的深度，让我们这个具有几千年历史的大国都是刮目相看的，我们对自己国家的历史的认识（如文革史），可能还要借鉴美国人的研究成果吧。
现代社会的进步不是靠全民都掌握尖端的科学知识和技能，只要能培养出一小批立足科技前沿的精英就行，普通民众需要的是科普，是科学的思维方法，专业领域的研究，有几个精英就足够了。
中国教育不管三七二十一，都要把学生培养成超高速的计算机，家长们也趋之若鹜地争相把孩子送进什么"奥数"训练班，好像每个孩子都能成为数学大师似的。据最近媒体报道，中国小学生的奥数题（1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6......前500个数的和是多少？），难倒了世界著名数学家、菲尔茨奖得主安德烈・奥昆科夫。这位数学大师说，他从来没上过奥数，也不理解中国小学生拼命学奥数的做法，他认为那些太难、太刁钻的题目，很可能伤害了孩子们学习数学的兴趣。
兴趣和动机是激励人、推动人去行动的一种力量。为了某种功利目的逼迫孩子学习，到头来往往是毁了孩子。曾听到国内一位辅导奥数的特级教师介绍培训学生参加国际比赛多么艰辛，有一位学生获奖后回来对老师说："总算解放了，我这辈子都不再碰数学了！"我听了之后，心里阵阵酸楚。这样"数学好"的只会考试的学生有什么用呢？
另一部分学生虽然数学学不好，可是也许他们有不凡的形象思维能力和文学艺术潜力。被学术界称为"民国第一才子，二十世纪人类最智慧的头颅"的钱钟书入清华时理科极差，数学只考了15分，幸亏清华没有把他拒之门外，我们现在才有幸看到《围城》、《管锥编》等等思想巨著。而我们今天是硬叫"王钟书"、"李钟书"去学数学，结果既出不了数学家，更没了钱钟书。当今我们的基础教育表面上是"硕果累累"，可高等教育和科研远远落后于世界先进水平。当年钱钟书说，"整个清华，没有一个教授有资格充当钱某人的导师!"在梁启超、陈寅恪、王国维、赵元任等名师聚集的清华这样说未免是太张狂了，可是现在别说是清华，即使说"整个中国的大学，没有一个教授有资格充当钱某人的导师!"，这一点都不为过吧？
扯远了。
"赶鸭上架"其实是亚洲人的通病，在IEA（ International Association for the Evaluation of Educational Achievement）的国际数学与科学教育成就趋势调查中，日本中学生获得总分第一名，可同时问卷发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一。中国尚无全面的报道，但有关部门对河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现："我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学"的学生占被调查者的比例高达62.21%，而对数学"很感兴趣"的只有23.12%。
数学本身并非无趣，是我们的教学把数学的真髓弄得平庸且令人痛恨了，难怪北京理工大学教授杨东平说要"打倒万恶的奥数教育"，称奥数教育对少年的毒害比"黄赌毒"还厉害。数学大师陈省身在第24届国际数学家大会期间，送给"少年数学论坛"的孩子们一幅题词，叫做"数学好玩"。陈大师喜欢数学，他的成就都是"玩"出来的。
小结一下，数学好不是指四则运算的水平高不高，更不是指考试的成绩好不好，而是看一个人的数学思维好不好，以及培养这种思维的方法和制度好不好。
那么美国或加拿大人是怎么训练孩子的数学思维的呢？
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