中國古代的天才數學家(圖)

2013-01-26 13:10

 

                        

                                       秦九韶

關於中國人對於世界科學史的貢獻，經常被提起的不外四大發明之類，其實還有一些不那麼著名的貢獻，也確實是由中國人作出，並且得到西方學者承認的。例如「中國剩餘定理」——這是西方數學史著作中對一次同余式定理的稱呼。因為關於這個問題最先出現於中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》中，所以又被稱為「孫子定理」。

對於這個問題，歷史上的西方數學家也做過大量研究，但最重要的貢獻由南宋數學家秦九韶作出。現今的數學史著作幾乎都會提到秦九韶和他的數學著作《數書九章》。在今四川安岳（這裡被認為是秦的故鄉）還有秦九韶紀念館，甚至還命名了一所「秦九韶中學」。但對於秦九韶究竟是何等樣人，除了「偉大的數學家」之外，通常就諱莫如深了。用現代的眼光看，秦九韶可能是中國歷史上少見的奇人之一。

所謂「一次同余式」問題，最早可見《孫子算經》卷下第26題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問數幾何？」用現代數學語言表示，就是求解一次同余式組：

N≡R₁（mod3）≡R₂（mod5）≡R₃（mod7）

其解可表示為：

N＝70R₁＋21R₂＋15R₃－105P

這裡P為整數，在上述問題中，R₁＝R₃＝2，R₂＝3，取P＝2，得到答案：N＝23。

在明朝程大位的數學著作《演算法統宗》中，上述題解被寫成一首在數學史上流傳頗廣的歌訣：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，
七子團圓正月半，除百零五便得知。

不能小看這道題目（在數字很小且只有三組的情況下，湊數字也能求出其解），它背後的學問還是很大的。在歐洲，大約在公元10世紀時開始出現討論一次同余式問題的萌芽，而世界科學史上一連串輝煌的名字都曾和這個問題聯繫在一起：例如阿爾哈桑（Ibnal Haithan）、斐波那契（Fibonacci）、歐拉（L.Euler）、拉格朗日（J.Lagrange）、高斯（Gauss）……。後來來華的傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie）將《孫子算經》卷下第26題介紹到了歐洲，1874年L.Methiesen發表文章，指出《孫子算經》中的解法與高斯定理相合，於是西方人將其定名為「中國剩餘定理」。

古代中國人注重實用，這個一次同余式問題也不是只拿來做數字遊戲的。說大一點，它和中國古代的政治大有關係。中國古代將天文曆法看作極其神聖的事物，在早期這曾經是王權確立的必要條件之一，後來則長期成為王權的象徵。而在中國曆法史上，曾有很長時期追求一個理想的時間起算點——這個起算點要從制定某部曆法的當年向前逆推，被稱為「上元積年」。在這個起算時刻，日、月、五大行星都恰好位於它們各自週期的起點，同時這個時刻又恰好是節氣中的冬至，而這個時刻所在的這一天的紀日干支又要恰好是「甲子」，如此等等。要滿足這麼多的條件，就需要求解一個多達9項的一次同余式組，在沒有計算機的時代，求解的計算工作量將達到駭人的地步。數學史家相信，在《孫子算經》中上述趣題出現之前，中國曆法中已經使用一次同余式組來求解上元積年了。而南朝祖沖之《大明歷》中的上元積年，就被認為是解算9項一次同余式組而獲得的。唐代一行《大衍歷》中的上元積年年數竟達96,961,740年，也被認為是求解一次同余式組而獲得的。但是祖沖之和一行等人究竟是如何解算的，卻一直沒有人能夠知道。

在這個問題上最重要的理論貢獻，就是由秦九韶（公元1202∼1261）做出的。他在《數書九章》中給出了「大衍求一術」——即一次同余式問題的系統解法（用他的方法確實可以求出《大衍歷》中的上元積年，儘管這還不足以證明一行就是用的這種方法）。這被認為是中國古代數學中的一項偉大成就，在世界數學史上也可以佔據一席之地。