誰是那個倒霉蛋兒：北京上牌平均需要無窮年

2011-01-04 23:09

北京的治堵方案終於出臺——購買機動車必須先搖號，每月只「放號」2萬個。想買車的朋友們可就慌了：如果一輩子都搖不中該咋辦？市交通委副主任新聞發言人李曉松解釋說，「每月一次搖號機會，沒中的人可以一直在搖號池裡搖號，我相信肯定會搖中。」

細想一下就會發現，這並不能解決問題：如果所有沒中的人都會一直留在搖號池，搖號池中的號碼就會越積越多，中獎概率也越來越低。按照每月新增5萬人申請搖號來算[1]，首月中獎概率高達2/5=40%，剩下的3萬人繼續留在搖號池中；到了第二個月，又會新增5萬人，因此搖號池中的號碼會增加到8萬，中獎率降低到了25%。照這樣推下去，到了第6個月，中獎率會降到10%，一年之後中獎率會降到5%以下。

搖號上牌可謂是真正的人品大比拚，如果第一個月就申請了搖號，一年內搖中的概率有八成，剩下兩成的倒霉蛋只能面對越來越渺茫的希望仰天長嘆。自然，我們想到了一個有趣的問題：如果第一個月就申請了搖號，那麼平均需要多少年才能中獎呢？果殼網死理性派告訴你，答案是——永遠。下面我們就來證明，只要每月新申請搖號的人數達到4萬人，中獎需要的平均時間就已經是無窮了。

稍作計算便可得知，如果第一個月便申請搖號，並且假設每月新增搖號人數4萬人，則第一個月中獎的概率是1/2，前兩個月內中獎的概率就是2/3，容易看出，在前n個月內中獎的概率就是n/(n+1)。我們可以用數學歸納法來證明這一點。假設n=k-1時命題成立，也就是說在前k-1個月內中獎的概率的確是(k-1)/k。由於第k個月的中獎概率是

因此在前k-1個月都沒中獎，正好在第k個月中獎了的概率就是

因此，前k個月的中獎概率就是

正好符合我們之前給出的公式。

在前面的推導過程中，我們知道了，在前k-1個月都沒中獎，正好在第k個月中獎的概率是

也就是說，有1/(1×2)的概率在第一個月中獎，有1/(2×3)的概率到了第二個月才中獎，有1/(3×4)的概率要到第三個月才中獎，等等。因此，中獎平均需要的時間也就是

而無窮個1/2的和顯然是無窮大，因此要想中獎，平均需要無窮多個月！

當然，在這個問題中，絕大多數人都會在一兩年內搖中，只是極個別永遠搖不上的倒霉蛋把平均時間拖到了無窮遠。因此，大家也不必太緊張，幾乎所有人中獎所需時間都會早於這個平均值的。