韓信與數學

韓信所說的「葫蘆歸罐」，是指把葫蘆裡的油往罐裡倒；「罐歸簍」是指把罐裡的油往簍裡倒。通常分油要把油從大容器往小容器裡倒，現在卻把小容器裡的油往大容器裡「歸」。往油葫蘆裡倒油，只能得到3斤的油量；把葫蘆裡的油往罐裡「歸」，「歸」到第三次，葫蘆裡就出現2斤的油量。再把滿滿一罐油「歸」到簍裡，騰出空來，把葫蘆裡的2斤油「歸」到空罐裡；最後再倒一葫蘆3斤油，「歸」到罐裡，就完成分油任務了。

韓信點兵

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是「神仙下凡」、「神機妙算」。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

當時韓信是怎麼算出來的，我們不知道。從歷史上留下的典籍中，可以查出這種類型的算題最早出現在「孫子算經」中。它成書於公元3世紀左右，原作者已不可考。魏晉時期著名數學家劉徽曾為「孫子算經」作過註解。書中給出的演算法是這樣的：用以3作除數所得餘數2乘以70，加上以5作除數所得餘數3乘以21，再加上以7作除數所得餘數2乘以15，得233。減去兩個105後，得23。這個23就是滿足上述各條件的最小整數。實際上（23+K*105），其中的K表示‘乘以’，當K等於任何正整數時，都可以滿足所說的條件。因此要想得到準確數值還需要知道該數所在範圍。韓信的1500將士在戰鬥後死傷四五百人，由此可知準確人數為1073。根據「孫子算經」的這個演算法總結出有名的「中國剩餘定理」，比內容相同的「高斯定理」早問世1500年。

宋朝有人把「孫子算經」給出的解法寫成口訣：

三歲孩兒七十稀，

五留廿一事尤奇。

七度上元重相會，

寒食清明便可知。

注意詩中「上元」指的是正月十五元宵節，寒食到清明整整105天。明朝的程大位所給出的口訣更易懂些：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝。

七子團圓正月半，

除百零五便得知。

傳說中韓信點兵的故事還有另一種說法：「韓信有兵一隊，若列為五行縱隊，則末行一人，成六行縱隊，則末行五人，成七行縱隊，則末行四人，成十一行縱隊，則末行十人，求兵數。」此題同樣可用「中國剩餘定理」得到答案。