一些關於中國古代術數的數學理念的札記（五）

2008-01-30 17:07 作者:作者：梅花一點五、易學體系的「像數」文化內涵與現代數學之間的關係

在《周易》裡，關於「像」的內涵，有許多變化莫測的使用與解說。不過，《周易·系辭》曰：「在天成像，在地成形，變化見矣。」在此，「像」與「形」的意義基本是一致的。筆者在這裡也比較支持並使用這個「像」的內涵。

在歐幾里得的《幾何原理》裡面，關於「點」、「線」、「面」的概念的解說和使用，很接近關於易學中的「像」與「形」的內涵；但是，這裡面還是有嚴格的文化區分在其中，是兩種不同的文化體系的解說。至於後來西方文化發展出來的非歐幾何，完全是對於歐氏幾何原理的邏輯上的新發現或者新突破，而製作出來的，可惜也還未能有本質的文化內涵的突破，這也許和西方的符號文化息息相關吧。那麼，筆者試試來看他們的文化區分在哪裡呢——

《春秋左氏傳·僖公》曰：「龜，像也；筮，數也。物生而後有像，像而後有滋，滋而後有數。」那麼，我們看到的情況是，「像」的內涵與事物的整體內涵是直接相關的。大儒邵雍把易學分為「意、言、像、數」四個層次的意義，但並不是將這四者完全分開、隔離開，這麼說來，這個「像」的哲學意義直接和「意、言、數」相關。筆者看來，這是不可以分離的。只是後人之學者各有偏好，理解事物的真實內涵各有境界，加上所繼承之學術各有偏頗、性情也是不一，所以易之後學繁複雜縟，才又分為義理和像數兩種之學。那麼說來，「像」與「意、言、像、數」是一個正式而且又真實的整體，分開來說他們，是一種人們知道的意義來表達，而實質的意義是，他們是不可分開的。也即，說到「像」的時候，他就孕育或者蘊涵著「意、言、像、數」的不同層次的意義；說到「數」的時候，也是如此。從這裡我們可以看到，「像」的意義，超過一般的抽象的哲學意義，他的整體性的意義可以達到不可言語的「意」的層面。當然，如果從緣起或者起源的角度來看，「像」的內涵跟高境界的修煉內涵有關，比如說「陰陽」，其本身就是一種「像」，後人為了方便理解，所以常把其與「天地」、「男女」、「尊卑」等等內涵相互闡釋，而真正的實質是，「陰陽」本身就是獨立的「像」或者「意」，「天地」、「男女」、「尊卑」等類似的概念是人世間的人找到與「陰陽」相關連的意義的人世間式的表達，這種表達就是通俗化的表達而已，當然，其中也有實際的意義上的真實的關聯。所以，「陰陽」這種類型的「像」，既不能說是具體的「像」，也不能說是抽象的「像」，但是他又能將其在具體的情況下可以成為具體的「像」，或者成為抽象的「像」。這些表現古人修煉到高境界後認識到的事物的規律的概括意義，是能超越一般世人的知識的概念內涵。這也許是易學的「像」的內涵的特殊性所在和超越性所在。

而西方的數學，尤其在幾何方面，主要從兩個層面表現他們的關於「像」的認識：一個是人的視覺器官；一個是抽象的符號文化所引發的概念性的假設。沒有人的視覺器官，就無法對於人世間的狀態下的事物進行測量；而人的視覺器官也只是局部的而且有限的看到事物的內涵，不是整體內涵。至於像對於「點」、「線」、「面」這些概念的定義，只能是假設性的定義，也即是直接的假設。至於這種假設為何能建立出人們認為的「科學體系」或者「科學知識」，那是哲學家們具體爭議的問題，而對於人類而言，這也只是人類生存狀態的侷限性所致。人類想要夢想無限的生存，也必須要自己去探索，可惜這是不可能的。

筆者暫時只能分析到以上二者的這種區分。另外，讓我們試試補充的談一下算學與數學的名詞內涵的區別。從名詞的角度來看，「算學」主要體現在「算」字的意義，而不是侷限在對於數字體系的運算內涵的解說；而「數學」這個名詞的特點，必須與數字體系相關，人們才能更好的去理解各種運算體系。筆者認為，「算學」的意義，在名詞解說上，具有比「數學」更廣義的意義和發展內涵在其中。而且，關於「算」字的內涵，也不只是由「加減乘除」來構成了，更多的是表示宇宙中各種事物、生命的運動變化的規律的體現了。有多少事物的運動規律，就有多少「算學」的變化形式或者規律。

六、未來數學的可能性。

據本人花一段時間考察了中國古代術數文化的感受以後（見筆者所寫的《草議治學中國古代歷史的方法的幾個問題》），深刻的認識到中國古代數學的內涵極為博大精深。這也使得我們不僅只是單單用現代的哲學、邏輯學的思辯的思維方式、思想方法來看待數學的可能性了，而可以是能夠用更廣義的、更接近生命本質的方式來看待數學的發生與發展變化。這個就涉及到運用修煉內涵的文化或者意義來進行辨別和開拓了。那麼，筆者不吝鄙妄，在此試論一下關於未來數學的可能性的具體的想法，以便將來的方家做指教、甄鑒或者發明：

我們首先看南宋數學家秦九韶《數學九章•序》的一段話：「今數術之書尚三十餘家不，天象歷度謂之綴術，太乙壬甲謂之三式，皆曰內算，言其秘也。九章所載，即周宮九數。繫於方圓為叀（？）術，皆曰外算，對內而言也，其用相通，不可歧二。獨大衍法不載九章，未有能推之者，歷家演法頗用之，以為方程者，誤也。且天下之事多矣，古之人先事而計，計定而行，仰觀俯察，人謀鬼謀，無所不用其謹，是以不衍於成，載籍章章可覆也。後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事之淆缺矣，可不求其故。」【注8】

這就是關於數學內涵中的「內算」與「外算」的著名論述。據筆者鄙陋認為，當今來自西方的古希臘數學和現代數學，則完全屬於「外算」部分。而關於「內算」部分，秦九韶認為屬於天文數學內涵和術數文化內涵，其中的「三式」是指著名的太乙神數、六壬和奇門遁甲。不過，秦九韶還認為「內算」與「外算」之間的關係是相對而言的，「其用相通，不可歧二」。這說明瞭，數學與術數的關係是密切的，這在現代邏輯數學的內涵中，多多少少看到了一些相似的影子。只是現代邏輯學仍然未能觸及到數學與生命內涵之間的關系，也未能與性命內涵相關連；所以，現代邏輯走的路子和術數文化是截然不一的。

我們來看一下北宋朝代的《太平廣記·第215卷·算術》記載的關於「算術」的故事中，所體現的「數學」（或算學）的思想內涵吧。這一卷是以人物為主題寫的故事，當然，這些故事的來源是蒐集自宋朝以前的筆記野史。人物分別是：鄭玄、真玄兔、曹元理、趙達、李淳風、一行、邢和璞、滿師、馬處謙、袁弘御。其中李淳風的故事標題用《貞觀秘記》，其餘用人名。有一些人在正史中是有其人的相關記載，如鄭玄、趙達、李淳風、一行，都是可考的真實人物。

在《鄭玄》一篇中，一共提到三種算術：一是「算渾天」，就是天文學「渾天說」的算術方法；二是「轉式」、「推式以算」，就是古人說的「三式」：太乙神數、奇門遁甲、六壬。今人認為這些是數術類的技能。三是「算乘除」，就是現在的簡單的乘除法計算。

在《真玄兔》一篇中，文中說「皇甫嵩、真玄兔、曹元理」三人會算術，皇甫嵩是東漢後期鎮壓黃巾起義的名將。而真玄兔卻能算出自己的歲數和自己死去的具體的日期，相差一天時間。這類算術，今人看來，當是屬於數術類的。

在《曹元理》一篇中，曹元理用筷子「十餘轉」，算出陳廣漢的兩個大倉庫的具體石數（古人的計量糧食單位）和具體數量的農牧資業。這項技能有傳乘人，分別是「南季。南季傳項滔。項滔傳子陸」。這種算術技巧不知如何歸類。

在《趙達》一篇中，趙達用佔算的方式，解釋長沙飢荒的原因，說是余干縣的水口有一個鱉形沙洲而造成的。這有點像風水類的技能。

在《貞觀秘記》一篇中，李淳風「據玄象，推算」唐朝將有女主代有天下。這裡的「玄象」或有人認為是天象，那麼這就可能是星象學。

在《一行》一篇中，一行僧人會修曆書，造黃道游儀，這些都需要高超的數學知識；又在固定時間裏測量日影，然後用勾股法算出中土的南北距離。這是後人說的天文數學。

在《邢和璞》一篇中，「邢和璞好黃老之道，善心算。」至於是什麼樣的「心算」，無從得知。裡面有三則像神話一樣的故事，其中第2個故事是轉世的，跟算術的直接關聯不大。

在《滿師》一篇中，「滿師善九宮」，有人認為「九宮」是數術的一種；故事內容是算命的。

在《馬處謙》一篇中，盲人馬處謙會易學占卜。

在《袁弘御》一篇中，後唐時期的袁弘御「尤精算術」，能隨即算出樹上的樹葉或凋落的樹葉，也可算出玉碗破碎的時間。

這十篇故事基本都沒有雷同之處，而都歸於「算術」的內涵，很值得人們深思。我們是到有必要瞭解真實的「算術」內涵的時候了。

那麼，筆者從中國傳統文化內涵的角度，大致的設想了未來數學內涵的可能性。因為任何學問都有其複雜性和交叉性；因而筆者在此試試大致做一點舉例說明或解說吧：

未來數學的內涵分兩大類：一是技術算，一是功能算；

也可以從另外一個角度，即採用南宋秦九韶的說法的名詞（但與秦九韶的說法的內涵不完全一致），可分為兩大類：一是內算，一是外算。

所謂的現代意義的數學內涵，一般可以統稱之為「數算」；他主要是從數字、符號的角度出發，依據人類肉眼看到的、感性的（也包括有一些是人的觀念的變化出來的東西）或者通過科技發現的物理（指廣義的物理，非是今日說的「物理學」）的各種表面形態與運動形態，來製作出各種各樣的數學運算技巧。

而關於「術數文化」，則屬於「命算」的內涵。這裡的術數文化，不僅包括中國古代的各種術數，還包括其他國家的和西方國家的各種術數。其「命算」的主要特點，就是研究和運算地球、人類及其他與人類緊密相關各類物質的命理現象，可以得出與人自身相關的吉凶的命運內涵。而「命算」的文化內涵與「天人合一」的內涵、與「天命」的內涵、與「神傳文化」的內涵是緊密不可分的。所以，「命算」和人類的「性命文化」是不可分的，但重點側重在命理內涵，裡面強調技巧的運用與傳授。

至於說到「心算」，那就是一種運用低層次的心理功能的能力做的一種運算技巧。這個一般需要一定的訓練，也有部分先天自己帶有的，但是會「心算」者不一定完全知道其中心理功能的原理。像人們說的如果您給任何一個10幾位數的數字，做加減乘除，心算者就以一般人達不到的速度很快算出來。另外，中外的古代的一些低層次的方術技巧，也帶有類似的功能及關於「心算」的內涵。這裡的「方術」也就是指人們說的「術類」或者「法術」的東西。一般說來，古代的人們也把「術數」當作「方術」的一種。但是在大部分的「術類」或者「法術」裡的東西，實際是一種低層次的人體功能的體現；而「術數」是不完全依賴人體功能來展現其運算內涵；所以筆者就將二者區分開來了，將「術數」單獨理解為「命算」的內涵。「心算」的內涵主要表現在「數算」與「命算」的人體的功能化，卻不一定得到高層次的「性命文化」內涵，是與低層次的或者與人的文化的數學內涵相關的。嚴格的說，「心算」應該是人體中一些具體功能的體現。要解釋的是，這裡用「心」字，主要意思是指人的意念。

而「神算」，在這裡主要指是高層次的修煉者，直接運用功能甚至是佛法神通來查看事物運動的真像，或者說是佛法神通的一種表現、一種功能。而普通的人們一般是不理解其中的事物運動的過程的及修煉內涵的玄奧，所以，往往把這些事物運動的真像作為一種運算的內涵或者運算的結果來看待，也即變像的變成了人們比較認可的一種「數學」或者「數學」的一個種類的內涵。但是，對於這些事物的運動的全體真像，不一定都能透露給世人，因為那是天機，所以這類「神算」的內涵往往具有神秘及玄奧的色彩，一般的人也認為必須通過修煉才能理解、認識和看得到，同時其內涵往往具有廣義的多層次的指導意義。這裡的「多層次」就是高層次和低層次的內涵都有、都包括。

那麼說來，「數算」與「命算」的主要共同特點就是可以技術化的運算特色，人們通過學習和訓練是能達到掌握這些運算技巧和技術的。所以，「數算」與「命算」二者可以合稱為「技術算」。而「心算」與「神算」的主要共同特點是以應用人體功能為主，來對於事物及其運動作為對象來進行研究運算，所以也可合稱為「功能算」。只不過，「心算」的功能類似一種低層次的人體功能的技巧，一般人是通過訓練可以得出來的；而「神算」必須與修煉和信仰相關聯，其得出的關於「數學」方面內涵也不是一般的人們能完全理解到的、明白得了的。

如果從中國古代學術的「性命之學」與「物理之學」的角度來看，則「數算」單純屬於「物理之學」的內涵，「命算」兼有「性命之學」與「物理之學」的內涵，而「心算」與「神算」則主要為「性命之學」的內涵；同時，由「神算」得出的內涵對於「性命之學」與「物理之學」都具有指導意義。所以，「數算」一般可以稱為「外算」，「命算」、「心算」與「神算」可以合稱為「內算」。不過，說「內算」與「外算」是「不可歧二」的，筆者是比較贊同這一看法的。但從來源性來看，「內算」居先，並對於「外算」具有指導意義。所謂「內」的涵義，可以有相當於「內證」之意，指人遇到問題和困難而都應該向內修，修自己的心性，當然也包括學習或者研究數學的內涵上遇到的各種困難。

那麼我們總結以上說法時，我們會看到，從內容來說，數學的學科內涵將得到無窮盡的拓展，表現在：數學這門學問將會建立在以性命文化或者修煉文化為主體（或者為核心）的基礎上，形成的對於時空、生命、宇宙、人體和社會的整體的、全面的文化觀，由此而創製出各種變幻莫測的運算體系，用以促成人類生命及生活的完善與高尚。

2007年10月14日初稿

【附錄一】

現摘錄《冊府元龜•卷一》如下，讀者可以瞭解一下：

「昔雒出書九章，聖人則之，以為世大法。其初一曰五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。帝王之起，必承其王氣。大古之世，鴻荒樸略，不可得而詳焉。庖犧氏之王天下也，繼天之統為百王先，實承木德，以建大號。三墳所紀，允居其首。蓋五精之運，以相生為德。木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，乘時迭王，以昭統緒。故創業受命之主，必推本乎歷數，參考乎徵應，稽其行次。上承天統，春秋之大居正，貴其體元而建極也。前志之論閏位，謂其非次而不當也。共工氏任智，刑以御九域，霸而不王，雖承太昊之後，而不齒五德之序。

神農氏以火承木，故為炎帝；
軒轅有土德之瑞，故號黃帝；
少昊以金德王，故號曰金天氏；
顓頊以水德王，號曰高陽氏；
帝嚳以木德王，號曰高辛氏。
帝堯以火德王，號曰陶唐氏。
帝舜以土德王，號曰有虞氏。

繇虞氏以上，皆承運更起，應期正位。

參列五辰之次，而克當統紀。至於正朔、服色之改度，戎祀朝會之所尚，記籍斯逸，罕得而述焉，夏後氏受有虞之禪，是謂金德，正用建寅，其色尚黑；商湯代夏以水德王，正用建醜，其色尚白；周武以木德王，正用建子，其色尚赤。

三代之際，各居一統，錯綜其數，以通其變。順三微之序，極三才之致，咸享祚長久，蓋得夫天歷之正也。

三季之衰，秦兼天下，獨推五勝不當。

正統漢祖以斷蛇之符，上系成周，是為火德，起自沛中，旗幟皆赤。至文帝時，魯人公孫臣推終始之傳，謂漢承秦，當用土德，土德之應，黃龍當見，宜改正朔，服色尚黃。時丞相張蒼引河決金是，以為漢當水德，以十月為正，其色外黑內赤，遂罷公孫臣之議。明年黃龍見，成紀乃用土行，改歷服色，而賈誼亦以為然。孝武正歷，以正月為歲首，色尚黃，數用五，蓋以秦為水德，據漢土而克之，從所不勝，遂順黃德。劉向父子以為帝出乎震，故庖犧氏姓受木德，以母傳子，終而復始。自農軒歷唐虞三代，漢得火行，上合天統，當時雖建，厥議未克，遵行世祖，中興乃用其說。

魏氏始基，有黃星之應。又太史丞許芝言，戊寅黃龍見，此受命之符最著明者也。又《易運期讖》有「黃氣授真人出」之言。又太微中，黃帝坐嘗明，赤帝坐嘗不見，以為黃家興而赤家衰亡之漸。又熒惑失色，十有餘年，蘇林董巴等，又言魏之氏族出自顓頊，與舜同祖。舜以土德承堯之火，今魏亦以土德承漢之火，於行運合，於堯舜授受之次。既而受漢禪，改元黃初。議更正朔，易服色，殊徽號，同律度量，以乘土行，以夏數為得天，即用夏正，而服色尚黃。然尚循漢正朔，弗之改也。明帝在東宮，著論以為五帝三王，雖同氣共祖，祖不相襲，正朔自宜改變，以明受命之運。即位久之，從高堂隆之議，乃推三統之次，以魏得地統，遂用建醜之月為正月，服色尚青，犧牲用白，戎事乘黑首白馬，建大赤之，朝會建大白之。齊王嗣位，以夏正得天，改用建寅為正月。

晉武泰始二年，有司舉唐堯舜禹，不易祚改制，至於湯武，始推行數。今晉繼三皇舜禹之跡，應天受禪，宜用前代正朔服色，如虞遵唐故事。而史臣之記，晉為金行，服色尚赤。

後魏道武天興初，始詔有司，議定行次。有司曰：國家繼黃帝之後，宜為土德，有土畜之瑞，及黃星之符。遂從土德。服色尚黃，數用五，犧牲用白，行夏之正。孝文太和中下詔，以丘澤初制，配尚宜定，五德相襲，論有異常。帝令百辟集議，高閭以為漢用火德，徵斬蛇之符，上繼於周，棄秦之暴，越惡承善，不以世次為正。自時厥後，乃以為常。

魏承漢火生土，故魏為土德；
晉承魏土生金，故晉為金德；
趙承晉金生水，故趙為水德；
燕承趙水生木，故燕為木德；
秦承燕木生火，故秦為火德。

今魏宜承秦為土德。李彪、崔光等，以為宜紹晉金德，不當次於僭偽。建議各殊，稱年不定。既而穆亮等大臣共議，宜上承晉世，定為水德。孝文下詔，特從其說。

後周革命，有赤雀之祥，群臣奏議，請更正朔，定為木行，以承水德，服色尚烏。

隋文受禪，次用火德，以有赤光之瑞，車服旌旗，悉皆尚赤。而帝服戎服，悉皆以黃。

唐氏承統，盛德在土。至開元中，有請改為金德者，終報罷之。天寶中，令諸衛緋色幡，改為赤黃色，以應土德。

朱梁建國，如秦之暴，雖宅中夏，不當正位。同光纘服，再承絕緒。

晉承唐後，是為金德，漢氏承晉，實當水行。

周祖即位之初，有司定為木德。

自伏羲氏以木王，終始之傳，循環五週，至於皇朝。以炎靈受命，赤精應讖，乘火德而王。混一區夏，宅土中而臨萬國，得天統之正序矣。」

註解：

1、見「數學網」：http://www.edp.ust.hk/math/，其中關於數學史年表的網頁是：htt
p://www.edp.ust.hk/math/history/1/1_1/result.asp
2、見「維基百科，自由的百科全書」網，關於數學的辭典解釋在：http://zh.wikipedi
a.org/wiki/數學
3、《讀易提要》潘雨廷著，張文江整理，上海古籍出版社，2003年3月版。第93頁。
4、見「正見網」。
5、參見吾文《淺談邵雍的歷史觀》。
6、《讀易提要》潘雨廷著，張文江整理，上海古籍出版社，2003年3月版。第93頁。
7、轉自文章《內算與外算》，俞曉群著，載於雜誌《文史知識》1991年第10期，第89頁。中華書局出版。
8、轉自《易學基礎教程》第367頁，朱伯崑主編，九州出版社，2002年1月第3次印刷。