我做華羅庚研究生的日子

和中國的許多學生一樣，我在孩童時期就對數學著了迷。我和妹妹只吵過一次架，而且我把她揍得很凶，那是因為在小學時她把我的數學習題本剪碎了，使我心疼至極而憤怒得失去控制。在天津一中上高二時，每個星期天中午不吃飯，跑到天津市圖書館去讀華羅庚的《數論導引》。高三畢業時，中國科技大學招生人員來天津一中，說1958年我校上屆學生朱濱考上科大，使天津一中的信譽很高，動員我們也考科大。我在招生手冊中看到華羅庚給科大58級學生上課的一張照片，便馬上報了名。在科大五年（1959－1964）的大學生活是難以忘懷的。那時的科大學生生活真正是「團結、緊張、嚴肅、活潑」。學校領導對我們的教導是：他們和先烈們創建了統一的新中國，我們的任務就是努力學好知識，把中國建成強大的國家。當時的祖國一派生機勃勃，年青人充滿了單純的理想。我在科大踏踏實實地念了五年數學。許多老科大人都知道科大數學系有三條「龍」，即華龍（華羅庚）、關龍（關肇直）和吳龍（吳文俊），我在大學前三年屬於關龍，關肇直老師的課有一種高屋建瓴的氣勢，並富有哲理性。我也聽過吳文俊先生的代數幾何課，每次課一氣呵成，條理清晰，思路敏捷。到了1962年，華羅庚要在我們班開設代數與數論專業，我成了這個專業的學生。當時教我們代數的是華羅庚、萬哲先和曾肯成三位大家，教數論的是王元和吳方兩名高手，輔導教員是謝盛剛和徐誠浩，在這樣的教授手下學習真是令人振奮。1963年，吳方老師帶我做大學畢業論文，題目是《橢圓內的整點問題》，那是把陳景潤關於圓內整點的最新結果推廣到橢圓上，曾經得到陳景潤的親自指點。文章作好後，華羅庚同意作為大學畢業論文，併發表在《科大校慶五週年論文集》中，這是我的第一篇學術論文。1964年畢業前夕，我考上了華羅庚的數論研究生。

二

華羅庚在60年代共招了11名研究生，他任科大副校長之後，把很大的精力放在科大培養學生。62年研究生為鐘家慶、孫繼廣、曾憲立和陸洪文，63年為林秀鼎，64年為徐傳宣、那吉生、賀祖琪、陳文德、裴定一和我。我們分別學習華羅庚從事的三個重要研究方向：多復變函數論、代數學和數論。他給我定的方向是代數數論。40年代他本人在美國作過不少傑出的數論工作。回國後於50年代培養了一批優秀的解析數論學生（陳景潤、王元、越民義、吳方等）。但他一直希望有人繼續從事代數數論工作。這期間，他和王元正在從事數在積分近似計算中的應用的研究，考慮用分圓域的單位構作積分插值，減小高維積分的計算量並提高誤差精度。我對代數和數論相交叉並有實際應用的這個研究領域非常合意。華羅庚指導研究生的方針是以自學為主，指定要念的書，參加一些討論班，並平均每兩週和他談一下學問。他要我念一本Landau的書：《代數數域上的解析方法》，要我念幾篇文章，包括他和王元正在做的積分近似計算的文章初稿。參加他主持的一個「不等式」討論班，大家共同討論Bellman當時剛出版的一本關於不等式的書。參加討論班的除了我們研究生，還有其他專業的科大教員，比如有作概率論的殷湧泉。在一個權威人士帶領下，不同學科的人員共同討論一個課題，是華羅庚從事研究和培養人材的十分顯著的特點。而且每個討論班都有明確的長遠目的。他組織「不等式」討論班的目的是鍛練我們的基本功，更長遠的想法是他想從事數理經濟學的研究，不等式是一個重要工具。這個討論班給我的印象極為深刻。在討論班第一次課上他說：「我叫你們念這本書是因為我不認為這本書寫得很好」。他認為，用他精湛的矩陣技巧可以更系統地整理此書中許多矩陣不等式，歸結於少數幾個手段，使書中的內容看起來非常簡單。這是他一貫倡導的「從薄到厚，又從厚到薄」讀書方法的典型體現。記得我在他這種不迷信前人的熏陶之下，改進了此書中的一個不等式，並且在某種意義下改進到最佳程度。聽殷湧泉和當時華羅庚的秘書王柱對我講，華對我的結果和方法頗為欣賞，但他並沒有為此事當面誇獎過我。他對學生的要求是非常嚴格的。他要我們幹的事，都要定期有個交待，決不能抱有「他會忘記」的僥倖心理。每次見他之前，都抱著小心翼翼的敬畏的心情，不但在數學上作好準備，而且要想好如何答覆他提出的問題。對於不滿意的學生他會當眾訓斥（但是次數不多），但對符合心意的人，或者看到我們的成績，他是由衷高興的。這從嚴的要求使我終生受益匪淺，督促我學業不斷進步，永不自滿。正是在1964年，張勁夫和郁文等有遠見的中科院領導決定成立中科院研究生院，把在全國各所的研究生集中到北京中關村學習一年。我們一共分成四個班，大家的專業從數理化一直到考古學，我對這些五花八門的專業感到很新奇，大家相處很融洽。1965年，我去北京順義縣「四清」，然後就開始了「文化大革命」，所以，我的研究生學習只進行了不到一年。1968年10月，我們六位同班同學均被分配到北京之外，我被分配到山西太原公司在動力廠當電工。1973年5月回到已下遷合肥的科大，不久去北京隨萬哲先老師學習代數編碼理論。萬哲先老師組織我們幾位舉行代數數論討論班，隨後北大的聶靈沼、丁石孫先生也參加進來。於是時隔8年，我又重操舊業，繼續華老師叫我從事的工作。1979－1981年，我去美國進修，學習了西方代數數論的新進展，直到今天，這仍是我的主要研究方向。

三

華羅庚老師於1985年6月12日在日本東京大學的講台上猝然倒地，至今已經9年了。他對世界數學的傑出貢獻是舉世公認的。他的治學精神和對待人生的態度，則集中表達在他經常講的名言警語之中。他多次講過「天才在於勤奮，聰明在於積累」。熟悉他經歷的人都懂得這句話的份量。華羅庚於1910年11月12日出生在江蘇省金壇縣。父親華瑞棟開代銷店。華羅庚在金壇中學初中畢業後，家裡無力供他上高中，便幫助父親經營小店。1928年，金壇發生流行瘟疫，他的母親染病去世，他也臥床六個月未翻身，導致左腿殘廢。就在這時，留法回國的王維克在金壇中學教書，借書給華羅庚看（一本大代數，一本解析幾何，一本50頁的微積分）。他開始對數學著迷，邊站櫃臺邊自學數學。由於影響作生意，他父親多次要撕掉他的「天書」。1929年他在《科學》第14卷上發表了第一篇論文。他的第二篇論文（1930年《科學》第15卷）引起清華大學數學系主任熊慶來的注意。他於1931年推薦華羅庚作數學系助理，管圖書、公文和打字等。至1933年，他的數學水平和能力已為大家公認，由於葉企蓀教授仗義執言（「清華出了個華羅庚是好事，不應資格問題限制人才使用」）。他破格提升為助教，教微積分。1935年又升為教員，這期間，他除了對高等數學基礎知識全面認真學習之外，對數論尤有興趣，曾受到楊武之教授的指點。1936年法國數學家阿達瑪和美國數學家維納來清華系統講學，好學勤奮的華羅庚使他們深深感動。1936年，在維納推薦下華羅庚以訪問學者身份去英國進修，在劍橋大學受著名解析數論學家哈代的指點。至此，由於他頑強的努力和眾多專家的引薦，他終於登上了數學研究的世界舞臺。在這裡，起根本作用的是他自強不息的精神，即他所說的，要「鍥而不舍，持之以恆」，「勤奮刻苦」。誠如他於1980年3月的一次為別人的題詞：「苦幹猛攻埋頭干，熟能生出百巧來。勤能補拙是良訓，一分辛苦一分才」。我到他家或辦公室去，總是看到桌上鋪滿了書籍和草稿紙。1978年他已身背氧氣瓶，我到北京醫院去看他，他正躺在床上計算分圓單位，尋找新的恆等式，親手把佈滿公式的一個筆記本交給我。後來，裴定一和我完成了他的一個想法，儘管他和王元都參與過這項研究，他讓裴和我發表了（1980年），這是他（在病床上）指導我的最後一篇論文。我還要講一件事，那是在78年前後，我去北京時中午常在他辦公室休息。每天午睡前都要從一個布袋裡隨機地抽取五封信讀讀，那是從全國各地寄給他的。多數表達了人們對他的熱愛和敬仰，其中也不乏溢美之詞，有些甚至到肉麻的程度。他逝世後，中科院數學所在他辦公室裡整理出足足四麻袋草稿紙！這些年來，我常把這個故事講給年青人，希望他們不要只看到那個布袋，不要只看到他的成績和榮譽，而那四個麻袋是他勞動和汗水的化身，才是他的真正價值。當前改革開放的形勢為年青人創造了更多的機會，但也助長了某些人逃避艱苦的思想。我相信，任何一種真正的事業都是通過艱呵投